확률 기초 01
순열과 조합을 쉽게 이해하는 법
여러 대상 중 일부를 고를 때 가장 먼저 물어야 할 질문은 “순서가 결과를 바꾸는가?”입니다. 순서가 중요하면 순열, 최종 구성만 중요하면 조합을 사용합니다. 공식을 외우기 전에 이 차이를 이해하면 계산 실수를 크게 줄일 수 있습니다.
1. 순서가 결과를 바꾸는 경우
세 사람 가·나·다 중 회장과 부회장을 한 명씩 뽑는다고 생각해 봅시다. 가가 회장이고 나가 부회장인 결과와, 나가 회장이고 가가 부회장인 결과는 역할이 달라 서로 다른 경우입니다. 첫 자리에 3명, 다음 자리에 남은 2명이 올 수 있으므로 3×2=6가지입니다. 이것이 3개 중 2개를 나열하는 순열입니다.
일반적으로 n개 중 r개를 순서 있게 고르는 수는 nPr = n!/(n-r)!입니다. 느낌표는 그 수부터 1까지 모두 곱한다는 뜻입니다. 5명이 달리기에서 1·2·3위를 차지하는 경우는 5×4×3=60가지입니다.
2. 순서를 무시하는 조합
같은 세 사람 중 행사 준비위원 두 명을 뽑는다면 가·나와 나·가는 같은 팀입니다. 순열로 센 결과에는 선택된 두 사람이 자리만 바꾼 경우가 두 번씩 들어 있습니다. 그래서 3×2를 2×1로 나눈 3가지, 즉 가·나, 가·다, 나·다가 남습니다.
일반식은 nCr = n! / (r! × (n-r)!)입니다. nPr에서 선택된 r개가 서로 배열되는 r!가지를 나눴다고 이해할 수 있습니다. ‘순서를 무시한다’는 것은 표시할 때 정렬하지 않는다는 뜻이 아니라, 순서가 달라도 동일한 결과로 센다는 뜻입니다.
3. 일상 예제로 구분하기
- 메뉴 세 가지 선택: 주문 순서와 관계없이 같은 음식 구성이면 조합입니다.
- 네 자리 잠금번호: 숫자가 같아도 배열이 다르면 다른 암호이므로 순서가 중요합니다.
- 카드 다섯 장의 패: 카드를 받은 순서가 아니라 최종 패를 비교하면 조합입니다.
- 발표 순서 정하기: 같은 발표자라도 순서가 바뀌면 일정이 달라지므로 순열입니다.
4. 중복 선택과 비복원 추출
한 번 고른 대상을 다시 고를 수 있는지도 확인해야 합니다. 아이스크림 맛을 여러 스쿱 고를 때 같은 맛을 허용한다면 중복 조합 문제가 됩니다. 반면 상자에서 공을 꺼내 되돌려 놓지 않으면 비복원 추출입니다. 번호연구소의 생성기는 한 세트 안에서 같은 정수를 다시 사용하지 않으므로 중복 없는 조합을 만듭니다.
되돌려 놓는 복원 추출에서는 매번 선택 가능한 대상 수가 유지되지만, 비복원 추출에서는 하나씩 줄어듭니다. 이 차이는 각 단계의 확률과 전체 경우의 수를 바꿉니다. 문제 문장에서 ‘서로 다른’, ‘중복 가능’, ‘다시 넣는다’ 같은 표현을 먼저 표시하면 좋습니다.
5. 45개 중 6개를 선택하면
최종 번호 여섯 개만 비교하고 한 번호를 두 번 고르지 않으므로 45C6을 계산합니다. 45×44×43×42×41×40을 6×5×4×3×2×1로 나누면 8,145,060입니다. 오름차순 표시는 읽기 위한 정렬일 뿐 선택 순서를 결과로 새로 세지 않습니다.
6. 자주 하는 계산 실수
첫째, “고른 순서”와 “화면에 보이는 순서”를 혼동하지 마세요. 둘째, 특정 결과 하나와 여러 결과를 묶은 유형의 확률을 비교하지 마세요. 셋째, 분모인 전체 경우의 수를 구할 때 유효하지 않은 중복 결과를 포함하지 않았는지 확인하세요. 마지막으로 계산 결과가 상식적인 작은 사례에서도 맞는지 대입해 보면 공식 사용 오류를 쉽게 찾을 수 있습니다.
다음 글에서는 컴퓨터가 이 조합을 선택할 때 사용하는 무작위성의 의미와 한계를 설명합니다.